教材内容
有时使用不同的底数重写对数是方便的。换底公式是对数运算中的重要工具，它允许我们将任何底数的对数转换为其他底数的对数。
设 \(\log_a x = m\)，其中 \(a > 0, a \neq 1, x > 0\)
将这个表达式写成幂的形式：\(a^m = x\)
对不同的底数 \(b\) 取对数：\(\log_b a^m = \log_b x\)
使用幂法则：\(m\log_b a = \log_b x\)
将 \(m\) 写成 \(\log_a x\)：\(\log_a x \times \log_b a = \log_b x\)
因此：\(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\)
换底公式的基本形式：
1. \(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\)
2. \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\)（特殊情况）
3. 换底公式适用于所有正数底数（除了1）
4. 常用于计算器计算任意底数的对数
换底公式 (Change of Base Formula)：
\(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\)
特殊情况：\(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\)
题目：求 \(\log_8 11\) 的值，精确到3位有效数字。
解答：
使用换底公式：\(\log_8 11 = \frac{\log_{10} 11}{\log_{10} 8}\)
计算：\(\log_{10} 11 \approx 1.041\)
计算：\(\log_{10} 8 \approx 0.903\)
因此：\(\log_8 11 = \frac{1.041}{0.903} \approx 1.15\)
题目：解方程 \(\log_5 x + 6\log_x 5 = 5\)
解答：
设 \(\log_5 x = t\)，则 \(\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x} = \frac{1}{t}\)
原方程变为：\(t + 6 \cdot \frac{1}{t} = 5\)
两边乘以 \(t\)：\(t^2 + 6 = 5t\)
整理得：\(t^2 - 5t + 6 = 0\)
因式分解：\((t - 2)(t - 3) = 0\)
所以 \(t = 2\) 或 \(t = 3\)
当 \(t = 2\) 时：\(\log_5 x = 2\)，所以 \(x = 5^2 = 25\)
当 \(t = 3\) 时：\(\log_5 x = 3\)，所以 \(x = 5^3 = 125\)
因此解为 \(x = 25\) 或 \(x = 125\)
使用换底公式时要注意：
题目：证明 \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\)
证明：
使用换底公式：\(\log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a}\)
因为 \(\log_b b = 1\)，所以：
\(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\)
这个结果说明：如果两个对数互为倒数，那么它们的底数和真数互换。
题目：已知 \(\log_2 3 = a\)，用 \(a\) 表示 \(\log_3 8\)
解答：
\(\log_3 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 3} = \frac{\log_2 2^3}{\log_2 3} = \frac{3}{a}\)
因此 \(\log_3 8 = \frac{3}{a}\)
通过本节的学习，你应该能够：